La modellazione ad elementi finiti prevede:
Discretizzazione del dominio e generazione della mesh o reticolo di calcolo
Nello specifico, la modellazione prevede la suddivisione della regione in analisi in diverse sub-regioni. GFAS consente la generazione di una mesh strutturata, che richiede un’iniziale partizione grossolana del dominio ed applica, all’interno delle regioni ‘genitore’, una suddivisione automatica in elementi triangolari o quadrangolari, o una mesh non strutturata, che viene generata dal programma in automatico tenendo conto delle interfacce o dei fori presenti nella geometria assegnata Triangolazione costante di Delaunay).
La definizione:
– dei legami tensione-deformazione, forniti dalla relazione σ=Eε in cui E rappresenta la matrice di costanti elastiche.
– delle condizioni al contorno che rappresentano gli ‘strumenti’ attraverso cui vincolare e/o limitare gli spostamenti e/o le tensioni.
– dei legami deformazione-spostamento che, per una struttura piana, nell’ambito delle ipotesi dei piccoli spostamenti, sono riassunti nell’equazione ε=Du.
Il metodo si conclude con l’assemblaggio e con la risoluzione di un’unica matrice globale delle rigidezze e dei vettori forze nodali.
Le matrici delle rigidezze ed i vettori dei carichi, per elementi di forma triangolare e quadrangolare sono valutati numericamente utilizzando la tecnica integrazione di Gauss applicata nei punti di campionamento o punti di quadratura di Gauss.
Dopo aver calcolato le matrici ed i vettori di ogni singolo elemento, segue il processo di assemblaggio del sistema globale di equazioni la cui risoluzione fornisce gli spostamenti nei nodi del modello ad elementi finiti. Il sistema da risolvere è sintetizzato nell’equazione:
KD=R
In cui:
K: matrice delle rigidezze globale;
R: vettore dei carichi nodali dell’intera struttura;
D: vettore dei gradi di libertà strutturali globali.
I criteri di rottura disponibili alla modellazione con il software GFAS sono quelli di Von-Mises, di Mohr Coulomb (e di Tresca) e di Druker-Prager.
Il criterio di rottura di Von Mises considera tutte e tre le direzioni principali dello sforzo di taglio. La funzione di snervamento è data da:
F( J2 )=( J2 )0.5 – k
Oppure in termini di sollecitazione equivalente:
Se si rappresentano nello spazio tridimensionale le tensioni principali, la superficie di snervamento è rappresentata da un cilindro parallelo all’asse idrostatico
F( s ) = ssegn – s0
Nel piano principale delle tensioni, il criterio di Mohr Coulomb assume la forma di un cono irregolare a base esagonale.
Il criterio può essere scritto in funzione delle tensioni principali come:
Fmc= 0.5∙(s1+s2)∙sinϕ-0.5∙(s1– s3) – c∙cosϕ
oppure:∙
Fmc=sm∙sinϕ + ssegn(cosϕ /30.5– (sinq ∙sinϕ)/3) – c∙cosϕ
Il criterio di Tresca si ottiene dall’ Equazione ponendo ϕu =0, ottenendo quindi:
Ft=(ssegn∙ cosq) /30.5– cu
Nel piano principale delle tensioni, il criterio di Drucke-Prager assume la forma di un cono. Esso è un’evoluzione del criterio di Mohr -Coulomb
Il criterio può essere scritto in termini di tensioni principali come:
F=[0.1666∙(s1–s2)2+(s2–s3)2 + (s3–s1)2]0.5– a∙(s1+s2+s3) – k
con:
a= 2∙sinϕ/[30.5∙(3-sinϕ)]
k= 6c∙sinϕ/[30.5∙(3-sinϕ)]
Il criterio di Drucker-Prager può essere utilizzato per terreni granulari, quali sabbia e ghiaia e problematiche che presuppongono piccole deformazioni.
L’implementazione delle relazioni costitutive elasto-plastiche, in un contesto ad elementi finiti, richiede la considerazione di due differenti livelli, il livello globale e il livello del materiale. A livello globale l’equilibrio deve essere soddisfatto così come in ogni altro calcolo lineare o non-lineare a elementi finiti, mentre, a livello del materiale, devono essere soddisfatte le relazioni di plasticità.
Si possono, pertanto, adottare due tipologie di soluzioni per modellare la non-linearità del materiale:
Metodo delle rigidezze costanti;
Metodo delle rigidezze tangenti.
Con entrambi i metodi di risoluzione, il carico viene incrementato in diversi step e la soluzione si ottiene attraverso una serie di linearizzazioni.
Il software GFAS offre la possibilità di eseguire quattro tipologie di analisi:
L’analisi lineare elastica, che può essere utilizzata per eseguire l’analisi ad elementi finiti di una membrana o ogni altra geometria soggetta a tensione piana, deformazione piana o tensione e deformazione assialsimmetrica.
L’analisi a capacità portante si effettua valutando la risposta di un materiale, con comportamento non lineare, sottoposto ad un carico. Imposte, quindi, le condizioni di deformazione piana, al fine di monitorare il comportamento elasto-plastico, i carichi sono applicati in maniera incrementale.
Per suoli dotati di attrito e coesione è appropriato l’utilizzo del criterio di Mohr Coulomb, mentre per argille non drenate può essere utilizzato il criterio di Tresca.
L’analisi di stabilità di versante viene effettuata dal software GFAS riducendo, in modo graduale, i parametri caratteristici dei terreni finché la convergenza del metodo non fallisce. Si possono scegliere diversi criteri di rottura tra cui Mohr – Coulomb, Von Mises e Druger Prager.
Durante l’analisi, il programma riduce, in maniera graduale, le caratteristiche di resistenza dei terreni finché non si raggiunge la rottura, mantenendo costante il carico gravitazionale. I carichi gravitazionali sono generati, in maniera automatica, e applicati al versante in un singolo incremento.
I parametri di resistenza del terreno che vengono utilizzati nell’analisi elasto-plastica sono ricavati come:
Ff = arctan( tanf / SRF)
cf = c/SRF
Diversi valori crescenti del coefficiente SRF (Fattore di Riduzione di Resistenza) si ottengono finché l’algoritmo non fallisce la convergenza, e, a quel punto, il fattore SRF determinato si assume come un fattore di sicurezza. In realtà ciò significa che nessuna configurazione delle distribuzioni delle sollecitazioni raggiunta è in grado di soddisfare il criterio di rottura e determinare l’equilibrio globale.
La non convergenza entro un dato numero di iterazioni (specificate dall’utente) è adatta ad essere un chiaro indicatore dell’instabilità del versante da associare all’incremento degli spostamenti.
Solitamente il valore del massimo spostamento nodale a rottura manifesta una notevole variazione rispetto a quello precedente al fallimento della convergenza.
L’analisi per fasi di costruzione si compie incrementando, da 0 ad 1, i carichi in ogni fase di costruzione.
In questo modo, se si raggiunge il valore unitario, la fase di costruzione corrente è completa e termina in modo da passare alla prossima fase di costruzione.
Se il calcolo si conclude quando il valore del carico è inferiore ad 1, il programma arresta l’analisi perché si è verificato il meccanismo di rottura.
MODELLAZIONE DEI RINFORZI NEL TERRENO
Per la modellazione le terre rinforzate e armate in GFAS, l’utente può procedere utilizzando due elementi:
- chiodo o bullone
- geosintetici o geogrid
Entrambi sono elementi lineari a due cerniere, funzionano allo stesso modo, collocati all’interno del terreno ne aumentano la rigidezza e reagiscono solo a sforzi assiali. Gli elementi “bulloni” sono più pratici da utilizzare, possono essere definiti ovunque all’interno della mesh specificando solo il nodo iniziale e finale che definiscono l’elemento (Fig.1).
Fig. 1- Modellazione della mesh per elementi a “bullone”
Quando invece si sceglie di utilizzare gli elementi “geogrid” è necessario preparare prima la mesh, la connessione tra questi elementi “linea” e “piano” viene applicata solo ai nodi (Fig.2)
Fig. 2- Modellazione della mesh per elementi a “geogrid”
E’ possibile definire i “bulloni” come ancorati all’estremità oppure completamente ancorati, nel primo caso, attraverso l’elemento bullone, sono collegati solo gli elementi piani appartenenti ai nodi iniziali e finali che lo definiscono.
Nel secondo caso invece viene implementata una procedura automatica, che consente di suddividere l’elemento bullone in tanti sotto-elementi per quanti sono gli elementi finiti attraversati dall’elemento lineare.
L’analisi da svolgere è quella con fattore di sicurezza che riduce progressivamente le proprietà di resistenza del terreno.
In tal senso, è possibile procedere in tre modi, riducendo:
- la coesione e l’angolo di resistenza a taglio;
- l’angolo di resistenza a taglio;
- la coesione.
Quando si sceglie di eseguire l’analisi non lineare con riduzione dei parametri geotecnici occorre impostare il fattore di sicurezza iniziale, ad esempio ponendolo pari ad 1 .
Il fattore di riduzione aumenta progressivamente con la relazione 1+i∙(1/carico) con i che varia tra 1 e il numero massimo di passi.
Durante la procedura iterativa si ricerca l’equilibrio tra le forze interne e quelle esterne: quando l’equilibrio non è soddisfatto entro il numero massimo di iterazioni, solitamente 400, considerando una tolleranza di convergenza di 1×10-3, l’analisi viene arrestata e il fattore di sicurezza coincide con l’ultimo fattore di riduzione calcolato con l’espressione sopra specificata.
Nel definire le proprietà dei materiali di questi elementi occorre riportare il modulo elastico o di Young, l’area della sezione trasversale dell’elemento e la resistenza allo snervamento, quest’ultima proprietà è tipica di materiale che ha un comportamento di tipo plastico.
Affinché l’elemento “chiodo” oppure “geogrid” possa trasferire rigidezza al terreno, occorre che il modulo elastico dell’elemento sia maggiore di quello del terreno in cui è stato inserito.
Fig. 3- Esempi pratici applicativi, modellazione e realizzazione
