Novità di calcolo delle strutture in c.a. nella revisione delle NTC

Una delle più significative novità nella revisione del capitolo 4 delle NTC riguarda la definizione di “momento resistente massimo della sezione in campo sostanzialmente elastico” (§4.1.2.3.5). Nell’ambito delle combinazioni sismiche detto momento M’_yd dovrà essere posto a base delle verifiche sezionali di tutti gli elementi resistenti a comportamento non dissipativo (§7.4.4). Mentre nelle combinazioni non sismiche, di conseguenza, potrà essere utilizzato il solito momento resistente ultimo M_Rd.
Il momento M’_yd viene definito con riferimento al diagramma momenti-curvature della sezione (vedi figura sottostante) costruito sulla base dei valori di progetto dei materiali.


Cioè il momento resistente sostanzialmente elastico è quello corrispondente alla curvatura Ф’_yd pari a quella di primo snervamento dell’acciaio o alla curvatura corrispondente alla deformazione di picco del calcestruzzo ε_c2 (≈ 0.002) nel caso in cui questa curvatura (snervamento apparente) risulti minore di quella di snervamento.

Anche se definito nell’ambito del diagramma momenti-curvature nella pratica progettuale il momento M’_yd può essere valutato in via diretta con procedimento analogo a quello impiegato per il calcolo di M_Rd.
Le strutture di fondazione sono soggette in gran parte a sollecitazioni flettenti senza apprezzabile sforzo normale per cui la differenza tra M’_yd e M_Rd risulta contenuta entro un 10% che a nostro parere non giustifica l’introduzione di un secondo momento resistente, bastando a questo scopo l’amplificazione delle sollecitazioni flettenti e taglianti trasmesse dalla sovrastruttura e già previste nel calcolo sismico.
La curvatura per snervamento apparente del calcestruzzo è molto rara e può riguardare essenzialmente pilastri con alti valori del rapporto N/(A_c· f_c).Queste particolarità di calcolo non sono presenti negli Eurocodici e quindi nei relativi NAD italiani (National Application Document).

Un’altra novità creativa della revisione consiste nella definizione della duttilità in curvatura convenzionale μ_Ф di una sezione (vedi grafico precedente per il significato dei simboli):

μ_Ф  = Ф_u / Ф_yd                              (1)

in cui:

Ф_yd   = M_Rd / M’_Rd · Ф’_yd

Quindi mentre i principali codici di calcolo internazionali definiscono la duttilità in curvatura semplicemente come:

μ_Ф  = Ф_u / Ф’_yd

le nuove norme definiscono il nuovo termine Ф_yd   come curvatura convenzionale di prima plasticizzazione da calcolare separatamente per le due principali direzioni di verifica.
La curvatura ultima Ф_u del diagramma momenti-curvature è quella in cui per prima si raggiunga la deformazione ultima del calcestruzzo o dell’acciaio o si abbia una riduzione del momento maggiore del 15% del momento resistente massimo. Se non si mette in conto il confinamento delle staffe (e di conseguenza la rottura del copriferro) il basso valore della deformazione ultima del calcestruzzo (0.0035) condurrà a valori molto bassi della capacità di duttilità in curvatura μ_Ф tali da non soddisfare quasi mai la domanda (vedi successiva formula [7.4.3]) per valori del fattore di struttura q₀ ≥ 3. In generale, quindi, per tenere conto del confinamento occorre adottare per il calcestruzzo legami costitutivi più complessi di quello parabola rettangolo utilizzato per le verifiche di resistenza come ad esempio quello di Kent-Park o quello di Mander o quello suggerito dalla stessa revisione NTC nel capitolo 4:


essendo s₂ la pressione laterale efficace di confinamento allo SLV mentre e_c2 ed e_cu sono valutate in accordo al § 4.1.2.1.2.1.

 

In figura Modelli  s–e per il calcestruzzo confinato

La pressione efficace di confinamento s₂ può essere determinata attraverso la relazione seguente:

s2=a⋅s1

[4.1.12.a]

dove a è un coefficiente di efficenza (≤ 1), definito come il rapporto tra il volume V_c,eff di calcestruzzo efficacemente confinato ed il volume V_c dell’elemento di calcestruzzo, depurato da quello delle armature longitudinali (generalmente trascurabile) e σ_l è la pressione di confinamento esercitata dalle armature trasversali.

La pressione laterale può essere valutata, per ogni direzione principale della sezione, direttamente da considerazioni di equilibrio sul nucleo confinato, in corrispondenza della tensione di snervamento dell’armatura trasversale, come di seguito indicato.

1. Per sezioni rettangolari

sl,x=(Ast,x⋅fyk,st)/(by⋅s); sl,y=(Ast,y⋅fyk,st)/(bx⋅s)

[4.1.12.b]

Per le due direzioni principali della sezione x e y valgono, rispettivamente, le relazioni:

dove A_st,x e A_st,y sono il quantitativo totale (aree delle sezioni) di armatura trasversale in direzione parallela, rispettivamente, alle direzioni principali x e y, b_x e b_y sono le dimensioni del nucleo confinato nelle direzioni corrispondenti (con riferimento alla linea media delle staffe), s è il passo delle staffe, f_yk,st è la tensione di calcolo dell’acciaio delle staffe.  

La pressione laterale equivalente σl può essere determinata attraverso la relazione:

sl = ( sl,x⋅sl,x)0.5

[4.1.12.c]

2.Per sezioni circolari

sl=2⋅(Ast,x⋅fyk,st)/(D0⋅s)

[4.1.12.d]

 

dove: A_st è l’area della sezione della staffa, D₀ è il diametro del nucleo confinato (con riferimento alla linea media delle staffe).

Il coefficiente di efficienza α può essere valutato come prodotto di un termine relativo alla disposizione delle armature trasversali nel piano della sezione e di un termine relativo al passo delle staffe, attraverso la relazione: 

a=an⋅as

[4.1.12.e]

con:

a) per sezioni rettangolari

an=1-∑(n)b2i /(6⋅bx⋅by )

[4.1.12.f]

as=[1-s/(2⋅bx)]⋅[1-s/(2⋅by)]

[4.1.12.g]

Va però notato come quest’ultima legge di comportamento del calcestruzzo confinato sia orientata (per il riferimento ai valori caratteristici e al pianerottolo plastico orizzontale che esclude il softening) ad una valutazione della resistenza di progetto delle sezioni confinate e non piuttosto ad una valutazione di duttilità in curvatura come richiesto dalle norme sismiche per le membrature a comportamento dissipativo.
Per una corretta valutazione della capacità di duttilità di una sezione confinata si ritiene più corretto fare riferimento ai legami costitutivi di calcestruzzo ed acciaio riferiti ai valori medi di resistenza e con ramo di plasticizzazione degradante (softening) per il calcestruzzo.
In un calcolo sismico con comportamento strutturale dissipativo le sezioni di attacco dei pilastri con le fondazioni vanno tutte verificate in duttilità di curvatura  (novità rispetto alle vecchie NTC 2008) calcolando tale capacità in duttilità con la (1) e verificando che essa sia non minore della domanda richiesta:

μ_Ф   = 1.2 [ 2q₀ – 1]                             per T₁ ≥ T_C

[7.4.3] revisione NTC

μ_Ф   = 1.2 [ 1 + 2 (q₀ – 1) T_C/T₁]         per T₁ < T_C

dove T₁ è il periodo fondamentale della struttura e q₀ è il fattore di struttura base.
Le nuove norme non obbligano però al calcolo diretto della capacità di duttilità in curvature mediante la costruzione del diagramma momenti-curvature ma consentono tale verifica a mezzo della seguente disequazione (oltre che al rispetto di ulteriori dettagli sulla staffatura):

Dettagli costruttivi per la duttilità

Per le zone dissipative allo spiccato dei pilastri primari e per le zone dissipative di tutti i pilastri secondari devono essere eseguite le verifiche
di duttilità indicate al § 7.4.4.2.2. In alternativa, tali verifiche possono ritenersi soddisfatte se, per ciascuna zona dissipativa, si rispettano le limitazioni seguenti:

a·w_wd ≥ 30·m_f·n_sy,d ·(b_c/b₀)-0.035         [7.4.29]
w_{wd =}(volume delle staffe di confinamento/volume del nucleo di calcestruzzo)·(f_yd/f_cd)                           [7.4.30]

dove:
w_wd è il rapporto meccanico dell’armatura trasversale di confinamento all’interno della zona dissipativa (il nucleo di calcestruzzo è individuato
con riferimento alla linea media delle staffe) che deve essere non minore
di 0,12 in CD”A” e 0,08 in CD”B”.
m_f è la domanda a livello di sezione in termini di fattore di duttilità di curvatura allo SLC;
n_d è la forza assiale adimensionalizzata di progetto relativa alla combinazione sismica SLV (n_d =N_Ed/Ac·f_cd);
e_sy,d è la deformazione di snervamento dell’acciaio;
h_c è la profondità della sezione trasversale lorda;
h₀ è la profondità del nucleo confinato (con riferimento alla linea media delle staffe);
b_c è la larghezza minima della sezione trasversale lorda;
b₀ è la larghezza del nucleo confinato corrispondente a b_c
(con riferimento alla linea media delle staffe);
a è il coefficiente di efficacia del confinamento, uguale a a = a_n · a_s, con:

• per sezioni trasversali rettangolari

an= 1-Σ(n)b2i/(6 ·b0·h0)	[7.4.31a]
as= [1-s/(2·b0)]·[1-s/(2·h0)]	[7.4.31b]

dove: n è il numero totale di barre longitudinali contenute lateralmente da staffe o legature, bi   è la distanza tra barre consecutive contenute;

• per sezioni trasversali circolari con diametro del nucleo confinato D₀ (con riferimento alla linea media delle staffe)

an= 1	[7.4.31a]
as= [1-s/(2·D0)]b	[7.4.31b]

dove: n è il numero totale di barre longitudinali contenute lateralmente da staffe o legature, bi è la distanza tra barre consecutive contenute, - 2 per staffe circolari singole, - 1 per staffa a spirale.

La [7.4.29] è identica alla [5.15] dell’ EC8-1. Nella descrizione della norma italiana vengono però omesse le seguenti due importanti prescrizioni:

1. Per ogni sezione la verifica va fatta nelle due direzioni principali di calcolo sismico (variando quindi sia le dimensioni ed eventualmente la domanda μ_Ф).
2. Il volume delle staffe orientato nelle suddette due direzioni sismiche deve essere il più possibile simile. Per ottenere ciò è necessario implementare ω_wd  come somma delle percentuali di armatura delle staffe nelle due direzioni trasversali:
   ω_wd = (ρ_x + ρ_y) f_yd/f_cd      e fare in modo che  ρ_x ≈ ρ_y .
   Essendo
   ρ_x   = A_st,x/(s·b₀) con A_st,x   = aliquota staffe orientate nella direzione x per unità di lunghezza del pilastro.
   Si può anche scrivere:
   ω_wd = ω_x + ω_y
   con
   ω_x = volume staffe in dir. x / volume nucleo cls. confinato · (f_yd/f_cd)
   ω_y = volume staffe in dir. y / volume nucleo cls. confinato · (f_yd/f_cd)

ESEMPIO

La sezione in figura è quella di attacco alla fondazione di un pilastro appartenente ad una struttura in classe di duttilità DCM calcolata con fattore di comportamento q₀= 3.83.
La domanda di duttilità in curvatura è quindi data dalla  prima delle [7.4.3] (supponendo T₁>T_c) :

μ_Ф  = 1.2 ( 2 q₀ – 1) = 8.0

L’esempio è il 5.1 del volume “Strutture in cemento armato” di Cosenza, Manfredi, Pecce (Hoepli editore 2008).

Le 8 barre longitudinali sono tutte Ф=20 mm,  mentre le staffe e le legature sono Ф=8 mm con passo s=10 cm.

Calcestruzzo
Classe 25/30
f_cd=141.7 daN/cm²;
f_ck= 250 daN/cm²;
f_cm= 330 daN/cm²

Acciaio
Tipo B450C
f_yd=3913 daN/cm²;
f_yk=4500 daN/cm²;
f_ym=4950 daN/cm².

VERIFICA DI DUTTILITA’ COL METODO SEMPLIFICATO

Si effettua dapprima la verifica di duttilità col metodo semplificato mediante la duplice applicazione della [7.3.29] nelle due direzioni:

α · ω_x ≥ 0.5 · ( 30 μ_Ф,x · ν_d · ε_sy,d · b_c/b₀ – 0.035)
α · ω_y ≥ 0.5 · ( 30 μ_Ф,y · ν_d · ε_sy,d · h_c/h₀ – 0.035)

Questa modalità di scrittura della [7.3.29] consente di essere sicuri che, anche nel caso in cui ω_x  non risulti esattamente uguale a ω_y , le staffe di confinamento vengano verificate in base alla più sfavorevole direzione di verifica.
Poiché  la  nostra  sezione  di  verifica  è  simmetrica  e  simmetricamente armata  basta effettuare tale verifica in una sola delle due direzioni (ad esempio la prima):

ω_x = (3 · 0.502 · 45.2) / (10 · 45.2 · 45.2) · (3913/141.7) =  0.092
μ_Ф,x = 8.0

Lo sforzo normale di progetto è di N_d= 100000 daN da cui:

ν_d= N_d /(b · h · f_cd) = 100000 / (50 · 50 · 141.7) = 0.282
ε_sy,d =f_yd/E_s   = 3913 / 2000000 = 0.0019565
b_c = 50 cm
b₀ = 50 – 2 · 2.4 = 45.2 cm
α_n   = 1 – (8 · 21.2²) / (6 ·45.2 · 45.2) = 0.707
α_s   = (1 – 10/(2 ·45.2)) · (1 – 10/(2 ·45.2)) = 0.791
α = α_n · α_s   = 0.559

Sostituendo si ha:

α · ω_x = 0.0514 < 0.5 ( 30 · 8.0 · 0.282 · 0.0019565 · 50/45.2 – 0.035) = 0.0557

Quindi le staffe di confinamento assegnate non soddisfano la [7.3.29]. E’ però facile controllare che per ottenere verifica positiva basta ridurre il passo s delle staffe da 10 cm a 9.2 cm ottenendo:

ω_x = (3 · 0.502 · 45.2) / (9.2 · 45.2 · 45.2) · (3913/141.7) =  0.100
da cui:
α · ω_x = 0.0559 > 0.0557

VERIFICA DI DUTTILITA’ COL DIAGRAMMA MOMENTI-CURVATURE

Questa modalità di verifica del fattore di duttilità in curvatura costituisce il metodo più generale di calcolo e può essere utilizzato anche per le sezioni di edifici esistenti da calcolare con procedura non lineare (pushover).
Dovendo far riferimento al comportamento confinato (e non) del calcestruzzo è necessario utilizzare i valori medi delle resistenze (nel caso di sezioni esistenti detti valori medi vanno divisi per il fattore di confidenza FC assunto).
Per il nucleo confinato (all’interno della linea media delle staffe perimetrali di confinamento) una prima legge costitutiva del calcestruzzo viene qui assunta parabolica fino alla tensione di picco confinata f_cm,c (vedi sottostante grafico) corrispondente alla deformazione di picco confinata ε_c2,c. Per deformazioni unitarie superiori a ε_c2,c la resistenza degrada linearmente fino al valore di f_cu,c= 0.85 · f_cm (calcestruzzo non confinato) in corrispondenza della deformazione di rottura del calcestruzzo confinato ε_cu2,c.
Per il calcestruzzo esterno al nucleo confinato (copriferro) viene assunto il diagramma parabola-rettangolo con resistenza di picco pari a fcm in corrispondenza di ε_c2 (0.002) e rottura in corrispondenza della deformazione ultima non confinata ε_cu .

Per l’acciaio viene utilizzato il classico diagramma bilineare incrudente o perfettamente plastico con riferimento ai valori medi di resistenza che possono essere valutati a partire da quelli caratteristici mediate l’applicazione di un fattore variabile da 1.1 a 1.2 (o essere desunti da prove di laboratorio).
Questa prima modalità di calcolo è stata implementata in programma  prevedendo  il calcolo automatico del confinamento a mezzo delle relazioni [4.1.8] e seguenti riferite ai valori medi invece che a quelli caratteristici. In particolare la pressione efficace di confinamento σ₂ = α · (σ_l,x · σ_l,y)^0.5 fornita dalla [4.1.12c] viene calcolata con riferimento alla effettiva direzione del momento flettente (ortogonalmente all’asse neutro):

σ₂ = α · σ_dir

e cioè considerando le sole staffe e legature di confinamento parallele alla direzione del momento flettente (nel caso di flessione deviata vengono considerate le proiezioni dei bracci delle staffe sulla direzione ortogonale all’asse neutro).

Il risultati del calcolo automatico sono riassunti nel seguente grafico:

La duttilità in curvatura (calcolata sulla base della formula (1) indicata all’ inizio di questo articolo e quindi con riferimento alla curvatura di snervamento convenzionale) qui risulta molto superiore (μ_Ф= 11.11) a quella verificata col procedimento semplificato (μ_Ф=8.0) e con passo di staffatura inferiore (9.2 cm< 10.0 cm).

Si noti il brusco calo del diagramma dopo il raggiungimento del momento resistente massimo M_max causato dalla rottura del copriferro al raggiungimento della deformazione unitaria di rottura non confinata ε_cu = 0.0035.

Si allega di seguito la stampa dei principali dati del calcolo elaborati dal programma:

E’ possibile, inoltre, costruire il diagramma momenti-curvature anche assegnando direttamente (nei dati sui materiali) i quattro parametri che definiscono la suddetta legge costitutiva del calcestruzzo confinato (f_cm,c, f_cu,c, ε_c2,c, ε_cu2,c); questi parametri vanno però calcolati esternamente al programma.
Il programma opera anche in presso-flessione deviata. Nel caso dell’esempio in studio se si assegna come direzione di verifica quella a 45° (ponendo nei dati di sforzo N=100000 daN; M_x = M_y= cost.) si ottiene il seguente diagramma:

In questo caso si può notare la drammatica caduta della duttilità in curvatura pari a 5.47 (in pratica pari a metà della duttilità in presso flessione retta).
Ma di questa problematica le norme non fanno alcun cenno.

Ing. TRITTO Renato